解：  .  （5分）

　　4、解同余式 .

　　解： 同余式有解。将同余式约去公因数3得，

　　。（2分）

　　， ，即

　　，

　　所以 为所求。 （5分）

　　5、解同余式组

　　解： 它们两两互素。 由此，（2分）

　　解 ，即 得 .再分别解 得 由孙子定理知解为 （5分）

　　6、解同余式组

　　解： 第一个同余方程有解且解数为2， 解之得： . 因此， 原同余方程组的解就是以下两个同余方程组的解：

　　和 . （2分）

　　前一个同余方程组的解是 ，后一个同余方程组的解为 ，所以，原同余方程组的解数为2，其解为 .（5分）

　　7、判断同余式 是否有解， 其中71是质数。

　　解：已知 为质数， . ，（2分）

　　。 ，即原同余式无解。（5分）

　　8、解 .

　　解： 因为 ，故所给同余式有四个解。把 写成 ，代入所给同余式得 ，从而得 ，故 是适合 的一切整数。 （2分）

　　再代入同余式得 ，由此得 ，故

　　是适合 的一切整数，仿前由 得 ，故 是适合 的一切整数，因此所求的四个解为

　　即 .（5分）

　　四、证明题（本大题共3个小题，第1、2小题每小题6分，第3小题8分，共20分）

　　1、求证：对任何大于1的自然数n， 是合数。

　　证明：∵

　　（3分）

　　∵

　　∴

　　∴ 是合数 .（6分）

　　2、假如 是任意二个不同的质数，证明 .

　　证明： 因为 ， 由欧拉定理 ， 又 ， 故 .（3分）

　　同理 ， 由 ， 故 .

　　（6分）

　　3、若 是使 成立的最小正整数，且 　特别地，

　　证明；若d不整除n ，设n=dq+r ，0<r<d ，则

　　与d的最小性矛盾，故d|n .  （4分）

　　又因为 故（a ，m）=1，由Euler定理 　故

　　（8分）

河北省教育考试院