所以  .                （4）

　　所得结果说明 表示向外传播的球面波。                    （5）

　　评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　2.一粒子由 描写，计算其几率流密度，并说明其物理意义。

　　解：在球坐标中，梯度坐标为

　　。                      （1）

　　只是 的函数，与 ， 无关，所以

　　， ，    （2）

　　几率流密度 ，           （3）

　　所以  .            （4）

　　所得结果说明 表示向内（即向原点）传播的球面波。       （5）

　　评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

　　4.      求在一维势场 中运动的粒子的能级和本征函数。

　　解：粒子被限制在 区间运动，除 和 两点及其以外，粒子在 内却是自由的，故状态可以看作两个动量为 和 的平面波的叠加，即

　　，